Ecuación de la circunferencia

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Dada la circunferencia de ecuación x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

Ecuación de la circunferencia II

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x² e y² sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3.

Indicar si la ecuación: 4x² + 4y² - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x² e y² son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2. No tiene término en xy.

3.

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

Ecuación de la circunferencia. Resumen

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x² e y² son iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos.

2. No tenga término en xy.

3 .

Intersección de una cónica y una recta

Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discrimínante, , las siguientes soluciones:

1 Si Δ > 0

Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

2 Si Δ = 0

Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3 Si Δ < 0 >

Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.