Ecuación de la circunferencia

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Dada la circunferencia de ecuación x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

Ecuación de la circunferencia II

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x² e y² sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3.

Indicar si la ecuación: 4x² + 4y² - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x² e y² son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2. No tiene término en xy.

3.

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

Ecuación de la circunferencia. Resumen

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x² e y² son iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos.

2. No tenga término en xy.

3 .

Intersección de una cónica y una recta

Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discrimínante, , las siguientes soluciones:

1 Si Δ > 0

Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

2 Si Δ = 0

Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3 Si Δ < 0 >

Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

Foco

Es el punto fijo F.

Directriz

Es la recta fija d.

Parámetro

Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje

Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice

Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector

Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación reducida de la parábola

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ecuación reducida de la parábola de eje vertical

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ecuación de la parábola

Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ecuación de la parábola de eje vertical

Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

1

Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

1

2

3

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

2

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

3

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:

1

2

3

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

4

Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

5

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

6

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y² = 16 x.